Ученики всегда спрашивают: «Почему нельзя пользоваться калькулятором на экзамене по математике? Как извлечь корень квадратный из числа без калькулятора?» Попробуем ответить на этот вопрос.
Как же извлечь корень квадратный из числа без помощи калькулятора?
Действие извлечения корня квадратного обратно действию возведения в квадрат.
√81= 9 9 2 =81
Если из положительного числа извлечь корень квадратный и результат возвести в квадрат, получим то же число.
Из небольших чисел, являющихся точными квадратами натуральных чисел, например 1, 4, 9, 16, 25, …,100 квадратные корни можно извлечь устно. Обычно в школе учат таблицу квадратов натуральных чисел до двадцати. Зная эту таблицу легко извлечь корни квадратные из чисел 121,144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400. Из чисел больших 400 можно извлекать методом подбора используя, некоторые подсказки. Давайте попробуем на примере рассмотреть этот метод.
Пример: Извлечь корень из числа 676 .
Замечаем, что 20 2 = 400, а 30 2 = 900, значит 20 < √676 < 900.
Точные квадраты натуральных чисел оканчиваются цифрами 0; 1; 4; 5; 6; 9.
Цифру 6 дают 4 2 и 6 2 .
Значит, если из 676 извлекается корень, то это либо 24, либо 26.
Осталось проверить: 24 2 = 576, 26 2 = 676.
Ответ: √676 = 26 .
Еще пример: √6889 .
Так как 80 2 = 6400, а 90 2 = 8100, то 80 < √6889 < 90.
Цифру 9 дают 3 2 и 7 2 , то √6889 равен либо 83, либо 87.
Проверяем: 83 2 = 6889.
Ответ: √6889 = 83 .
Если затрудняетесь решать методом подбора, то можно подкоренное выражение разложить на множители.
Например, найти √893025 .
Разложим число 893025 на множители, вспомните, вы делали это в шестом классе.
Получаем: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.
Еще пример: √20736 . Разложим число 20736 на множители:
Получаем √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144.
Конечно, разложение на множители требует знания признаков делимости и навыков разложения на множители.
И, наконец, есть же правило извлечение корней квадратных . Давайте познакомимся с этим правилом на примерах.
Вычислите √279841 .
Чтобы извлечь корень из многоцифрового целого числа, разбиваем его справа налево на грани, содержащие по 2 цифры (в левой крайней грани может оказаться и одна цифра). Записываем так 27’98’41
Чтобы получить первую цифру корня (5), извлекаем квадратный корень из наибольшего точного квадрата, содержащегося в первой слева грани (27).
Потом вычитают из первой грани квадрат первой цифры корня (25) и к разности приписывают (сносят) следующую грань (98).
Слева от полученного числа 298 пишут удвоенную цифру корня (10), делят на нее число всех десятков раннее полученного числа (29/2 ≈ 2), испытывают частное (102 ∙2 = 204 должно быть не больше 298) и записывают (2) после первой цифры корня.
Потом вычитают от 298 полученное частное 204 и к разности (94) приписывают (сносят) следующую грань (41).
Слева от полученного числа 9441 пишут удвоенное произведение цифр корня (52 ∙2 = 104), делят на это произведение число всех десятков числа 9441 (944/104 ≈ 9), испытывают частное (1049 ∙9 = 9441) должно быть 9441 и записывают его (9) после второй цифры корня.
Получили ответ √279841 = 529.
Аналогично извлекают корни из десятичных дробей . Только подкоренное число надо разбивать на грани так, чтобы запятая была между гранями.
Пример . Найдите значение √0,00956484.
Только надо помнить, что если десятичная дробь имеет нечетное число десятичных знаков, из нее точно квадратный корень не извлекается .
Итак, теперь вы познакомились с тремя способами извлечения корня. Выбирайте тот, который вам больше подходит и практикуйтесь. Чтобы научиться решать задачи, их надо решать. А если у Вас возникнут вопросы, .
blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Как извлечь корень из числа. В этой статье мы будем учиться извлекать квадратный корень из четырехзначных и пятизначных чисел.
Давайте, для примера, извлечем квадратный корень из числа 1936.
Следовательно, 
.
Последняя цифра в числе 1936 - цифра 6. На 6 заканчивается квадрат числа 4 и числа 6. Следовательно, 1936 может быть квадратом числа 44 или числа 46. Осталось проверить с помощью умножения.
Значит,
Извлечем квадратный корень из числа 15129.
Следовательно, 
.
Последняя цифра в числе 15129 - цифра 9. На 9 заканчивается квадрат числа 3 и числа 7. Следовательно, 15129 может быть квадратом числа 123 или числа 127. Проверим с помощью умножения.
Значит, 
Как извлечь корень - видео
А теперь предлагаю вам посмотреть видео Анны Денисовой - "Как извлечь корень ", автора сайта " Простая физика ", в котором она рассказывает, как извлекать квадратные и кубические корни без калькулятора.
В видео рассматривается несколько способов извлечения корней:
1. Самый простой способ извлечения квадратного корня.
2. Подбором, используя квадрат суммы.
3. Вавилонский способ.
4. Способ извлечения квадратного корня в столбик.
5. Быстрый способ извлечения кубического корня.
6. Способ извлечения кубического корня в столбик.
Формулы корней. Свойства квадратных корней.
Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже...")
В предыдущем уроке мы разобрались, что такое квадратный корень . Пришла пора разобраться, какие существуют формулы для корней , каковы свойства корней , и что со всем этим можно делать.
Формулы корней, свойства корней и правила действий с корнями - это, по сути, одно и то же. Формул для квадратных корней на удивление немного. Что, безусловно, радует! Вернее, понаписать всяких формул можно много, но для практической и уверенной работы с корнями достаточно всего трёх. Все остальное из этих трёх проистекает. Хотя и в трех формулах корней многие плутают, да...
Начнём с самой простой. Вот она:
Если Вам нравится этот сайт...
Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)
Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)
можно познакомиться с функциями и производными.
Факт 1.
\(\bullet\)
Возьмем некоторое неотрицательное число \(a\)
(то есть \(a\geqslant 0\)
). Тогда (арифметическим) квадратным корнем
из числа \(a\)
называется такое неотрицательное число \(b\)
, при возведении которого в квадрат мы получим число \(a\)
: \[\sqrt a=b\quad \text{то же самое, что }\quad a=b^2\]
Из определения следует, что \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\)
. Эти ограничения являются важным условием существования квадратного корня и их следует запомнить!
Вспомним, что любое число при возведении в квадрат дает неотрицательный результат. То есть \(100^2=10000\geqslant 0\)
и \((-100)^2=10000\geqslant 0\)
.
\(\bullet\)
Чему равен \(\sqrt{25}\)
? Мы знаем, что \(5^2=25\)
и \((-5)^2=25\)
. Так как по определению мы должны найти неотрицательное число, то \(-5\)
не подходит, следовательно, \(\sqrt{25}=5\)
(так как \(25=5^2\)
).
Нахождение значения \(\sqrt a\)
называется извлечением квадратного корня из числа \(a\)
, а число \(a\)
называется подкоренным выражением.
\(\bullet\)
Исходя из определения, выражения \(\sqrt{-25}\)
, \(\sqrt{-4}\)
и т.п. не имеют смысла.
Факт 2.
Для быстрых вычислений полезно будет выучить таблицу квадратов натуральных чисел от \(1\)
до \(20\)
: \[\begin{array}{|ll|}
\hline
1^2=1 & \quad11^2=121 \\
2^2=4 & \quad12^2=144\\
3^2=9 & \quad13^2=169\\
4^2=16 & \quad14^2=196\\
5^2=25 & \quad15^2=225\\
6^2=36 & \quad16^2=256\\
7^2=49 & \quad17^2=289\\
8^2=64 & \quad18^2=324\\
9^2=81 & \quad19^2=361\\
10^2=100& \quad20^2=400\\
\hline \end{array}\]
Факт 3.
Какие действия можно выполнять с квадратными корнями?
\(\bullet\)
Сумма или разность квадратных корней НЕ РАВНА квадратному корню из суммы или разности, то есть
\[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt{a\pm b}\]
Таким образом, если вам нужно вычислить, например, \(\sqrt{25}+\sqrt{49}\)
, то первоначально вы должны найти значения \(\sqrt{25}\)
и \(\sqrt{49}\)
, а затем их сложить. Следовательно, \[\sqrt{25}+\sqrt{49}=5+7=12\]
Если значения \(\sqrt a\)
или \(\sqrt b\)
при сложении \(\sqrt
a+\sqrt b\)
найти не удается, то такое выражение дальше не преобразуется и остается таким, как есть. Например, в сумме \(\sqrt
2+ \sqrt {49}\)
мы можем найти \(\sqrt{49}\)
– это \(7\)
, а вот \(\sqrt
2\)
никак преобразовать нельзя, поэтому \(\sqrt 2+\sqrt{49}=\sqrt
2+7\)
. Дальше это выражение, к сожалению, упростить никак нельзя
\(\bullet\)
Произведение/частное квадратных корней равно квадратному корню из произведения/частного, то есть \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt{ab}\quad \text{и}\quad
\sqrt a:\sqrt b=\sqrt{a:b}\]
(при условии, что обе части равенств имеют смысл
)
Пример: \(\sqrt{32}\cdot \sqrt 2=\sqrt{32\cdot
2}=\sqrt{64}=8\)
;
\(\sqrt{768}:\sqrt3=\sqrt{768:3}=\sqrt{256}=16\)
;
\(\sqrt{(-25)\cdot (-64)}=\sqrt{25\cdot 64}=\sqrt{25}\cdot \sqrt{64}=
5\cdot 8=40\)
.
\(\bullet\)
Пользуясь этими свойствами, удобно находить квадратные корни из больших чисел путем разложения их на множители.
Рассмотрим пример. Найдем \(\sqrt{44100}\)
. Так как \(44100:100=441\)
, то \(44100=100\cdot 441\)
. По признаку делимости число \(441\)
делится на \(9\)
(так как сумма его цифр равна 9 и делится на 9), следовательно, \(441:9=49\)
, то есть \(441=9\cdot 49\)
.
Таким образом, мы получили: \[\sqrt{44100}=\sqrt{9\cdot 49\cdot 100}=
\sqrt9\cdot \sqrt{49}\cdot \sqrt{100}=3\cdot 7\cdot 10=210\]
Рассмотрим еще один пример: \[\sqrt{\dfrac{32\cdot 294}{27}}=
\sqrt{\dfrac{16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2}{9\cdot 3}}= \sqrt{
\dfrac{16\cdot4\cdot49}{9}}=\dfrac{\sqrt{16}\cdot \sqrt4 \cdot
\sqrt{49}}{\sqrt9}=\dfrac{4\cdot 2\cdot 7}3=\dfrac{56}3\]
\(\bullet\)
Покажем, как вносить числа под знак квадратного корня на примере выражения \(5\sqrt2\)
(сокращенная запись от выражения \(5\cdot
\sqrt2\)
). Так как \(5=\sqrt{25}\)
, то \
Заметим также, что, например,
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\)
,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\)
.
Почему так? Объясним на примере 1). Как вы уже поняли, как-то преобразовать число \(\sqrt2\) мы не можем. Представим, что \(\sqrt2\) – это некоторое число \(a\) . Соответственно, выражение \(\sqrt2+3\sqrt2\) есть не что иное, как \(a+3a\) (одно число \(a\) плюс еще три таких же числа \(a\) ). А мы знаем, что это равно четырем таким числам \(a\) , то есть \(4\sqrt2\) .
Факт 4.
\(\bullet\)
Часто говорят “нельзя извлечь корень”, когда не удается избавиться от знака \(\sqrt {} \ \)
корня (радикала) при нахождении значения какого-то числа. Например, извлечь корень из числа \(16\)
можно, потому что \(16=4^2\)
, поэтому \(\sqrt{16}=4\)
. А вот извлечь корень из числа \(3\)
, то есть найти \(\sqrt3\)
, нельзя, потому что нет такого числа, которое в квадрате даст \(3\)
.
Такие числа (или выражения с такими числами) являются иррациональными. Например, числа \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt{15}\)
и т.п. являются иррациональными.
Также иррациональными являются числа \(\pi\)
(число “пи”, приблизительно равное \(3,14\)
), \(e\)
(это число называют числом Эйлера, приблизительно оно равно \(2,7\)
) и т.д.
\(\bullet\)
Обращаем ваше внимание на то, что любое число будет либо рациональным, либо иррациональным. А вместе все рациональные и все иррациональные числа образуют множество, называющееся множеством действительных (вещественных) чисел.
Обозначается это множество буквой \(\mathbb{R}\)
.
Значит, все числа, которые на данный момент мы знаем, называются вещественными числами.
Факт 5.
\(\bullet\)
Модуль вещественного числа \(a\)
– это неотрицательное число \(|a|\)
, равное расстоянию от точки \(a\)
до \(0\)
на вещественной прямой. Например, \(|3|\)
и \(|-3|\)
равны 3, так как расстояния от точек \(3\)
и \(-3\)
до \(0\)
одинаковы и равны \(3\)
.
\(\bullet\)
Если \(a\)
– неотрицательное число, то \(|a|=a\)
.
Пример: \(|5|=5\)
; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\)
.
\(\bullet\)
Если \(a\)
– отрицательное число, то \(|a|=-a\)
.
Пример: \(|-5|=-(-5)=5\)
; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\)
.
Говорят, что у отрицательных чисел модуль “съедает” минус, а положительные числа, а также число \(0\)
, модуль оставляет без изменений.
НО
такое правило годится только для чисел. Если у вас под знаком модуля находится неизвестная \(x\)
(или какая-то другая неизвестная), например, \(|x|\)
, про которую мы не знаем, положительная она, равна нулю или отрицательная, то избавиться от модуля мы не можем. В этом случае это выражение таким и остается: \(|x|\)
.
\(\bullet\)
Имеют место следующие формулы: \[{\large{\sqrt{a^2}=|a|}}\]
\[{\large{(\sqrt{a})^2=a}},
\text{ при условии } a\geqslant 0\]
Очень часто допускается такая ошибка: говорят, что \(\sqrt{a^2}\)
и \((\sqrt a)^2\)
– одно и то же. Это верно только в том случае, когда \(a\)
– положительное число или ноль. А вот если \(a\)
– отрицательное число, то это неверно. Достаточно рассмотреть такой пример. Возьмем вместо \(a\)
число \(-1\)
. Тогда \(\sqrt{(-1)^2}=\sqrt{1}=1\)
, а вот выражение \((\sqrt {-1})^2\)
вообще не существует (ведь нельзя под знак корня помещать отрицательные числа!).
Поэтому обращаем ваше внимание на то, что \(\sqrt{a^2}\)
не равен \((\sqrt a)^2\)
!
Пример: 1) \(\sqrt{\left(-\sqrt2\right)^2}=|-\sqrt2|=\sqrt2\)
, т.к. \(-\sqrt2<0\)
;
\(\phantom{00000}\)
2) \((\sqrt{2})^2=2\)
.
\(\bullet\)
Так как \(\sqrt{a^2}=|a|\)
, то \[\sqrt{a^{2n}}=|a^n|\]
(выражение \(2n\)
обозначает четное число)
То есть при извлечении корня из числа, находящегося в какой-то степени, эта степень уменьшается в два раза.
Пример:
1) \(\sqrt{4^6}=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt{(-25)^2}=|-25|=25\)
(заметим, что если модуль не поставить, то получится, что корень из числа равен \(-25\)
; но мы помним, что по определению корня такого быть не может: у нас всегда при извлечении корня должно получаться положительное число или ноль)
3) \(\sqrt{x^{16}}=|x^8|=x^8\)
(так как любое число в четной степени неотрицательно)
Факт 6.
Как сравнить два квадратных корня?
\(\bullet\)
Для квадратных корней верно: если \(\sqrt a<\sqrt b\)
, то \(a
1) сравним \(\sqrt{50}\)
и \(6\sqrt2\)
. Для начала преобразуем второе выражение в \(\sqrt{36}\cdot \sqrt2=\sqrt{36\cdot 2}=\sqrt{72}\)
. Таким образом, так как \(50<72\)
, то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\)
. Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\)
.
2) Между какими целыми числами находится \(\sqrt{50}\)
?
Так как \(\sqrt{49}=7\)
, \(\sqrt{64}=8\)
, а \(49<50<64\)
, то \(7<\sqrt{50}<8\)
, то есть число \(\sqrt{50}\)
находится между числами \(7\)
и \(8\)
.
3) Сравним \(\sqrt 2-1\)
и \(0,5\)
. Предположим, что \(\sqrt2-1>0,5\)
: \[\begin{aligned}
&\sqrt 2-1>0,5 \ \big| +1\quad \text{(прибавим единицу к обеим
частям)}\\
&\sqrt2>0,5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text{(возведем обе части в
квадрат)}\\
&2>1,5^2\\
&2>2,25 \end{aligned}\]
Видим, что мы получили неверное неравенство. Следовательно, наше предположение было неверным и \(\sqrt 2-1<0,5\)
.
Заметим, что прибавление некоторого числа к обеим частям неравенства не влияет на его знак. Умножение/деление обеих частей неравенства на положительное число также не влияет на его знак, а умножение/деление на отрицательное число меняет знак неравенства на противоположный!
Возводить обе части уравнения/неравенства в квадрат можно ТОЛЬКО ТОГДА, когда обе части неотрицательные. Например, в неравенстве из предыдущего примера возводить обе части в квадрат можно, в неравенстве \(-3<\sqrt2\)
нельзя (убедитесь в этом сами)!
\(\bullet\)
Следует запомнить, что \[\begin{aligned}
&\sqrt 2\approx 1,4\\
&\sqrt 3\approx 1,7 \end{aligned}\]
Знание приблизительного значения данных чисел поможет вам при сравнении чисел!
\(\bullet\)
Для того, чтобы извлечь корень (если он извлекается) из какого-то большого числа, которого нет в таблице квадратов, нужно сначала определить, между какими “сотнями” оно находится, затем – между какими “десятками”, а потом уже определить последнюю цифру этого числа. Покажем, как это работает, на примере.
Возьмем \(\sqrt{28224}\)
. Мы знаем, что \(100^2=10\,000\)
, \(200^2=40\,000\)
и т.д. Заметим, что \(28224\)
находится между \(10\,000\)
и \(40\,000\)
. Следовательно, \(\sqrt{28224}\)
находится между \(100\)
и \(200\)
.
Теперь определим, между какими “десятками” находится наше число (то есть, например, между \(120\)
и \(130\)
). Также из таблицы квадратов знаем, что \(11^2=121\)
, \(12^2=144\)
и т.д., тогда \(110^2=12100\)
, \(120^2=14400\)
, \(130^2=16900\)
, \(140^2=19600\)
, \(150^2=22500\)
, \(160^2=25600\)
, \(170^2=28900\)
. Таким образом, мы видим, что \(28224\)
находится между \(160^2\)
и \(170^2\)
. Следовательно, число \(\sqrt{28224}\)
находится между \(160\)
и \(170\)
.
Попробуем определить последнюю цифру. Давайте вспомним, какие однозначные числа при возведении в квадрат дают на конце \(4\)
? Это \(2^2\)
и \(8^2\)
. Следовательно, \(\sqrt{28224}\)
будет заканчиваться либо на 2, либо на 8. Проверим это. Найдем \(162^2\)
и \(168^2\)
:
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\)
.
Следовательно, \(\sqrt{28224}=168\)
. Вуаля!
Для того чтобы достойно решить ЕГЭ по математике, прежде всего необходимо изучить теоретический материал, который знакомит с многочисленными теоремами, формулами, алгоритмами и т. д. На первый взгляд может показаться, что это довольно просто. Однако найти источник, в котором теория для ЕГЭ по математике изложена легко и понятно для учащихся с любым уровнем подготовки, - на деле задача довольно сложная. Школьные учебники невозможно всегда держать под рукой. А найти основные формулы для ЕГЭ по математике бывает непросто даже в Интернете.
Почему так важно изучать теорию по математике не только для тех, кто сдает ЕГЭ?
- Потому что это расширяет кругозор . Изучение теоретического материала по математике полезно для всех, кто желает получить ответы на широкий круг вопросов, связанных с познанием окружающего мира. Все в природе упорядоченно и имеет четкую логику. Именно это и отражается в науке, через которую возможно понять мир.
- Потому что это развивает интеллект . Изучая справочные материалы для ЕГЭ по математике, а также решая разнообразные задачи, человек учится логически мыслить и рассуждать, грамотно и четко формулировать мысли. У него вырабатывается способность анализировать, обобщать, делать выводы.
Предлагаем вам лично оценить все преимущества нашего подхода к систематизации и изложению учебных материалов.