ЗА ЧАС

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ

Математическое ожидание - это количество денег, которое в среднем можно выиграть или проиграть на данной ставке. Это предельно важное понятие для игрока, поскольку оно является ключевым для оценки большинства игровых ситуаций. Матожидание - это также наилучший инструмент анализа большинства покерных раскладов.

Предположим, вы играете с приятелем в монетку, ставя поровну по $1 каждый раз независимо от того, какой стороной она упадет. Решка - вы выигрываете, орел - проигрываете. Шансы выпадения решки 1 к 1, и вы ставите $1 к $1. Следовательно, математическое ожидание у вас точно равно нулю, поскольку с точки зрения математики вы не можете ожидать, что вы ведёте или проигрываете после двух бросков или после 200.

Ваш часовой выигрыш равен нулю. Часовой выигрыш - это количество денег, которое вы ожидаете выиграть за час. Вы можете бросать монету 500 раз в течение часа, но поскольку ваши шансы ни положительны, ни отрицательны, вы не выиграете и не проиграете. С точки зрения серьезного игрока такая система ставок неплоха. Но это просто трата времени.

Но положим, какой-то баран желает поставить $2 против вашего $1 в ту же игру. Тогда вы тут же имеете положительное матожидание 50 центов с одной ставки. Почему 50 центов? В среднем одну ставку вы выигрываете, другую проигрываете. Ставите первый доллар - и теряете $1, ставите второй - выигрываете $2. Вы дважды поставили по $1 и идете с опережением в $1. Следовательно, каждая из этих однодолларовых ставок принесла вам 50 центов.

Если за час монета выпала 500 раз, ваш часовой выигрыш составляет теперь $250, поскольку в среднем вы теряли но одному доллару 250 раз и выигрывали по два доллара 250 раз. $500 минус $250 равняется $250, что и есть суммарный выигрыш. Заметьте вновь, что матожидание, которое является суммой, в среднем выигрываемой вами на одной ставке, равняется 50 центам. Вы выиграли $250, поставив доллар 500 раз: это составляет 50 центов со ставки.

Матожидание не имеет ничего общего с кратковременным результатом. Баран мог выиграть первые десять бросков подряд, но, имея преимущество ставок 2 к 1 при равных шансах, вы всё равно получаете 50 центов с каждой ставки в $1. Нет разницы, выигрываете вы либо проигрываете одну ставку или ряд ставок при условии, что у вас достаточно наличности, чтобы легко покрывать расходы. Если вы продолжите ставить так же, то выиграете, и за продолжительный период времени ваш выигрыш приблизится четко к сумме матожиданий в отдельных бросках.

Всякий раз, как вы делаете ставку с лучшим исходом, (то есть, можно ожидать, что она окажется выгодной на длинной дистанции), когда шансы в вашу пользу, вы что-то выигрываете на ней независимо от того, теряете "ли вы ее или нет в конкретной сдаче. И наоборот, если вы делаете ставку с худшим исходом (невыгодную на длинной дистанции), когда шансы не в вашу пользу, вы что-то теряете независимо от того, выиграли вы или проиграли в конкретной сдаче.

Вы ставите с лучшим исходом, когда матожидание положительно, а оно положительно, когда шансы в вашу пользу. Ставя с худшим исходом, вы имеете отрицательное матожидание, а оно бывает, когда шансы против вас. Серьёзные игроки ставят только с лучшим исходом, с худшим они пасуют.

Что это значит шансы в вашу пользу? Это значит в результате выиграть больше, чем дают реальные шансы. Реальные шансы выпадения решки 1 к 1, но у вас получается 2 к 1 за счёт соотношения ставок. Шансы в этом случае в вашу пользу. Лучший исход гарантирован с положительным ожиданием 50 центов за ставку.

А вот пример матожидания немножко посложнее. Товарищ пишет цифры от единицы до пятерки и ставит $5 против вашего $1 за то, что вы не угадаете эту цифру. Принимать ли вам такое пари? Каково здесь матожидание?

В среднем четыре раза вы промахнётесь, а один раз отгадаете. Итого шансы против того, что вы угадаете правильно, составят 4 к 1. Шансы за то, что при одной попытке вы потеряете доллар. Однако вы получаете $5 к $1 при вероятности проиграть 4 к 1. Так что шансы в вашу пользу, вы можете надеяться на лучший исход, и стоит принимать ставку. Если вы поставите таким образом пять раз, в среднем четыре раза вы проиграете по $1 и разок выиграете $5. Таким образом, за пять попыток вы заработаете $1 с положительным ожиданием 20 центов за ставку.

Ставящий ловит шансы, когда он полагает выиграть больше, чем ставит, как в примере выше. И он губит шансы, когда собирается выиграть меньше, чем ставит. Ставящий может иметь либо положительное, либо отрицательное матожидание в зависимости от того, ловит он шансы либо губит их. Если вы ставите $50, чтобы выиграть $10, когда вероятность выигрыша всего 4 к 1, вы имеете отрицательное матожидание $2 за ставку, поскольку в среднем четыре раза вы выиграете $10, но однажды проиграете $50, что составит суммарную потерю $10 после пяти ставок. С другой стороны, если вы поставите $30, чтобы выиграть $10, когда вероятность выигрыша 4 к 1, у вас положительное ожидание $2, поскольку вы вновь выиграете четыре раза по S10, а потеряете всего $30 один раз, что даёт суммарную прибыль $10. Ожидание показывает, что первая ставка плохая, а вторая хорошая.

Математическое ожидание стоит в центре каждой игровой ситуации. Когда букмекер требует от футбольных болельщиков ставить $11, чтобы выиграть $10, он имеет положительное ожидание 50 центов с каждых своих $10. Когда казино платит равные деньги на пассовой линии в крепсе, оно имеет положительное ожидание порядка $1.40 со ставки в $!00. поскольку эта игра устроена так, что ставящий на эту линию в среднем проигрывает 50.7%, а выигрывает 49.3% общего времени. Несомненно, именно это кажущееся минимальным положительное матожидание и создаёт колоссальные прибыли казино по всему миру. Как отметил хозяин казино Vegas World Боб Ступак, «одна тысячная процента отрицательной вероятности на достаточно длинной дистанции разорит богатейшего человека в мире».

В большинстве игр, например, крепе и рулетка в казино, шансы на любой ставке постоянны. В других они меняются с течением игры, и матожидание может подсказать вам, как оценивать конкретную ситуацию. В блэкджеке, например, для определения правильной игры математики рассчитали матожидание при разыгрывании боксов различными способами. Тактика, обеспечивающая вам максимальное положительное ожидание или минимальное отрицательное ожидание, является правильной. Например, если у вас 16 против 10 у дилера, скорее всего вы проиграете. Однако если эти 16 состоят из двух восьмерок, лучше всего будет сделать сплит на восьмерках, удвоив ставку. Рассплитовав восьмерки против 10 дилера, вы всё равно потеряете больше денег, чем выиграете, но в данном случае отрицательное ожидание ниже, чем если бы вы просто каждый раз тянули карту, имея 8,8 против 10.

6 мая 2013 в 11:46

Теория вероятностей и антропогенный фактор

• Математика

Введение

Среди людей бытует мнение, что человек, поступивший на математический факультет, обязательно выйдет оттуда учителем математики. Это не я придумал, это по опыту, ибо довольно большое количество не очень образованных людей спрашивало, куда я собираюсь идти работать после окончания ВУЗа. Разумеется, найти можно и куда более обширные области применения своих знаний. Одна из них связана с теорией вероятности. Я не хочу вникать в сложные подробности предмета, т.к. люди, не имеющие нужной математической базы, скорее всего запутаются. Но и говорить совсем ни о чем не хочется. Поэтому я хочу написать про связь человека и этой самой теории вероятностей, причем на простом, понятном любому языке. Если интересно - прошу под кат.

Общая информация

Я все же введу пару определений, чтобы хоть немного формализовать написанное.
1) Если имеется несколько возможных случайных исходов, «равновозможных» между собой, то классическая вероятность - это отношение количества «хороших» случайных (элементарных) событий к их общему количеству. Например, если у вас есть 5 шариков, 2 из которых белые, то вероятность взять именно белый шар будет равняться 2/5.
2) Случайная величина - это величина, которая принимает в результате опыта одно из множества значений, причем появление того или иного значения этой величины до ее измерения нельзя точно предсказать. Классический пример - игральная кость. Кидая ее, можно случайно получить одно из шести возможных значений.
3) Математическое ожидание случайной величины - это сумма всех возможных ее значений, помноженных на их вероятность. Говоря простым языком, это «среднее значение» принимаемой случайной величины. Для игральной кости оно равно (1+2+3+4+5+6)*1/6=3.5. Что нам это дает? То, что кидая кость много (например 100) раз, в среднем каждый раз будет выпадать 3.5, а в сумме выпадет примерно 100*3.5=350. При увеличении количества бросков, относительная погрешность реального результата и его математического ожидания, помноженного на количество бросков, будет уменьшаться все сильнее.

Суть

Теперь суть того, что я, собственно, хотел рассказать: математические подсчеты довольно хорошо прогнозируют разные события, если они напрямую не зависят от выбора человека. Если же вмешивается антропогенный фактор, то строить какие-то планы, опираясь только на теорию вероятности нужно с осторожностью. Приведу пару простых примеров. Возможно они немного надуманные, но зато простые и понятные.

Монетка

Случай раз

Вам во время пары в универе (урока в школе, рабочего дня) стало скучно и Вы предложили соседу по парте (коллеге по работе) сыграть в следующую игру: подбрасываете монетку; если выпал орел - Ваш друг платит вам 5 рублей, если же выпала решка, то Вы платите 5 рублей. От скуки человек может и согласиться. Вы будете играть так весь день, а в конечном итоге оба останетесь практически при тех же деньгах, что были изначально. Вероятность выпадения любой стороны монетки 1/2 и, как следствие, математическое ожидание Вашего выигрыша равно нулю. Так что в среднем выигрыш/проигрыш будет в районе плюс-минус 10 рублей. Ну, может быть, немногим больше. В любом случае, для бюджета не критично.

Случай два

Ситуация та же, но вы предложили за проигрыш платить не по 5, а по 1000 рублей. Скорее всего ваш друг/коллега откажется. Ибо не хочется просто так потерять ощутимую сумму денег.

Что же изменилось? Математическое ожидание выигрыша по-прежнему равно нулю. С точки зрения математики все практически то же самое. А тут уже вмешался человеческий фактор, и Ваш план скоротать скучный день провалился.

Лотерея

Вы решили организовать лотерею. Сделали билеты ценой по 10 рублей с пятидесятипроцентным шансом выиграть 15. Математическое ожидание выигрыша равно 15*0.5=7.5 рублей, но так как билет стоит 10, получается -2.5 рубля. Да, клиенту не очень выгодно, но ведь Вы не собираетесь работать себе в убыток, правда? Однако вряд ли такая лотерея будет пользоваться популярностью. Потому что предлагается потратить 10 рублей с сомнительным шансом выиграть 15. Разница-то невелика.

Вы меняете условия и делаете лотерею практически благотворительной. Теперь выигрыш 25 рублей. Математическое ожидание выигрыша минус стоимость билета - 2.5 рубля! Вы даже останетесь в убытке! Но народ в большинстве своем по-прежнему не будет жаловать Вашу лотерею, ибо выигрыш немногим больше цены билета. В лотерею будут играть разве что школьники, которым не хватает мелочи на мороженное.

В то же время Ваш предприимчивый сосед тоже устраивает свою лотерею. Только он берет за билет 50 рублей, а выигрышем является автомобиль стоимостью 500000 руб. Вероятность выигрыша - 0.001%. Математическое ожидание выигрыша - 5 рублей. Минус стоимость билета, получим -45 рублей. Да лотерея соседа просто грабительна! Продав достаточно большое количество билетов, даже разыграв при этом автомобиль, он все равно знатно разбогатеет. Люди же вполне могут покупать билеты, ведь что такое 50 рублей перед перспективой получить задаром неплохой автомобиль?

Читатель может решить, что дело просто в количественном размере выигрыша. Но это далеко не обязательно. Приведу еще один довольно надуманный, но показательный пример:

Очень крупная лотерея

Вам предлагают подарок неслыханной щедрости. «Супер-лотерею». Одну из двух, на выбор. Сыграть в нее можно только один раз . В первой «лотерее» Вам гарантированно выплачивают миллион долларов. А во второй с 50% шансом Вы получите 2 миллиона, с 40% шансом миллион и с 10% шансом уйдете ни с чем. Математическое ожидание выигрыша в первой «лотерее» 1 миллион. Во второй - 1.4 миллиона. Но что же Вы выберете? Может кто-то и выберет второй вариант, но проведение опроса среди некоторого количества людей покажет, что большинство наверняка выберет первый вариант. Ведь, как говорится, лучше синица в руках… Тем более, если синица - это миллион, а во второй «лотерее» есть шанс не получить ничего. И гипотетические 2 миллиона ничего не решают.

Последний пример

Вы написали хорошее и качественное приложение для телефона. Потратили много сил и средств. Вы выставляете его в магазин по цене $9.99. Для такого качественного продукта это, вроде бы, не очень много. Да и Вам нужно окупиться и подзаработать. Но Ваше приложение никто не покупает. Люди сочли, что это дорого. Загрузки минимальны. Вы в отчаянии снижаете цену до $0.99. Фурор, люди скачивают Вашу программу только так, но денег с них идет недостаточно. Тогда Вы вновь поднимаете цену, но уже до $4.99. Да, поток скачиваний снижается относительно самой низкой цены, но все же он выше, чем вначале. И о чудо, Вы получаете вполне неплохую прибыль с Вашего продукта. С точки зрения примитивных подсчетов, количество желающих иметь эту программу всегда было одним и тем же. Однако Вы снизили цену относительно первоначальной, а прибыли увеличились. Снова чисто человеческий фактор.

Ну и что в итоге?

В итоге, с одной стороны, математические подсчеты могут дать не совсем очевидные с точки зрения математики результаты. Человек может из почти одинаковых условий выбирать строго одно, а среди нескольких предложений брать более невыгодное для себя. Почему? Так устроен человек. Выгода одного конкретного человека не всегда может быть просто так подсчитана.
С другой стороны, если смотреть с точки зрения различных фирм, корпораций и т.д., то имея множество клиентов, можно получать неплохие деньги, даже если с точки зрения математики предложение для клиента не самое выгодное. Именно поэтому существуют банки, лотереи, страховые компании. И люди берут кредиты под дикие проценты, покупают сомнительные лотерейные билеты и страхуют вещи, с которыми, скорее всего, все будет в порядке.
А значит, пытаясь применить по отношению к людям какие-то подсчеты «в тупую», мысля как робот, скорее всего, ничего путного и полезного не выйдет. Но ежели действовать с умом, представить себя на месте других людей, то можно горы свернуть и миллиарды заработать с помощью математики.

В общем, думайте как люди, но про математику тоже не забывайте.

P.S. Если я где-то написал какую-то ерунду (примеры-то из головы брал), сильно не пинайте, скажите. Мне интересно мнение других людей.

Математическое ожидание — это средний размер выигрыша, на который вы можете рассчитывать, играя на букмекерских ставках. Наверное, это самый важный критерий, которым надо руководиться при выборе букмекера. Статья посвящена расчету этого критерия.

Математическое ожидание — это сумма выигрыша, на которою может рассчитывать игрок, размещая ставки на одни и те же коэффициенты.

Пример: в игре в монетку вы ставите 10$ на «решку», и рассчитываете получить прибыль в 11$, при каждом удачном результате ваше ожидание составит 0.5. Это значит, что если вы будете ставить на решку все время 10$, то на дистанции вы будете выигрывать с каждой ставки 0.50$.

Расчет математического ожидания

Формула для подсчета этого критерия очень проста. Сперва вероятность выигрыша умножаем на размер выигрыша в каждой ставке. Затем с полученного результата вычитываем вероятность проигрыша и умножаем на сумму убытка по каждой ставке.

• вероятность выигрыша * размер выплаты по ставке — вероятность проигрыша * размер убытков ставки

• Для начала найдите коэффициенты для каждого из исходов: ничья, выигрыш, проигрыш.
• Чтобы рассчитать потенциально возможный выигрыш, умножьте сумму ставки на десятичные коэффициенты для каждого из исходов и после этого нужно вычесть сумму ставки.
• Чтобы определить вероятность события разделите 1 на десятичные коэффициенты рассчитываемого нами исхода Вероятность проигрыша равна сумме вероятностей выигрыша для двух других исходов.
• Дальше подставляем полученные нами значение в формулу выше.

Пример: матч Манчестера и Вигана. Кэфы 1.263 и 13.5 соответственно и ничья с кэфом 6.5. Если ставить на Виган 10$, то можно выиграть 125$. Вероятность такого события составит 0.074 или 7.4%. (1 нужно разделить на 13.5).

Шансы другого исхода это сумма вероятности победы Манчестера и ничьей, другими словами 0.792+0.154=0.946. Сумма возможных убытков равна нашей ставке — 10$. Наша итоговая формула получится такой:

• (0,074 *125$) – (0,946 * 10$) = -0,20$

Судя по формуле, тут наше математическое ожидание будет отрицательным. Мы будем проигрывать в среднем 0.20$ при каждой ставке.

Почему подсчет математическое ожидания полезен при ставках?

Отрицательное математическое ожидание не значит что мы будем всегда проигрывать. Все кэфы в букмекерах односторонние, и это значит если нам удастся переиграть букмекера, то мы сможем выиграть.

Как переиграть букмекера? Один из способов — это подсчет собственноручно всех вероятностей того или иного спортивного события. Рассчитывая вероятности событий сами, вы можете найти ошибку букмекера и умело ей воспользоватся. Это существенно повисит ваши шансы на выигрыш.

Пример: судя по коэффициентам шансы победы Вигана составляют 7.4%. Но если при ваших подсчетах Виган будет побеждать в 10% случаях, то наше ожидание от ставки на него увеличится до 3.26$.

Расчет математического ожидания дает нам дополнительную информацию о букмекерах. У большинства букмекеров математическое ожидание составляет -1$ при каждой ставке в 10$, и если вы найдете положительное математическое ожидание, то вы сможете обыграть такого букмекера.

– количество мальчиков среди 10 новорождённых.

Совершенно понятно, что это количество заранее не известно, и в очередном десятке родившихся детей может оказаться:

Либо мальчиков – один и только один из перечисленных вариантов.

И, дабы соблюсти форму, немного физкультуры:

– дальность прыжка в длину (в некоторых единицах) .

Её не в состоянии предугадать даже мастер спорта:)

Тем не менее, ваши гипотезы?

2) Непрерывная случайная величина – принимает все числовые значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.

Примечание : в учебной литературе популярны аббревиатуры ДСВ и НСВ

Сначала разберём дискретную случайную величину, затем – непрерывную .

Закон распределения дискретной случайной величины

– этосоответствие между возможными значениями этой величины и их вероятностями. Чаще всего закон записывают таблицей:

Довольно часто встречается термин ряд распределения , но в некоторых ситуациях он звучит двусмысленно, и поэтому я буду придерживаться «закона».

А теперь очень важный момент : поскольку случайная величина обязательно примет одно из значений , то соответствующие события образуют полную группу и сумма вероятностей их наступления равна единице:

или, если записать свёрнуто:

Так, например, закон распределения вероятностей выпавших на кубике очков имеет следующий вид:

Без комментариев.

Возможно, у вас сложилось впечатление, что дискретная случайная величина может принимать только «хорошие» целые значения. Развеем иллюзию – они могут быть любыми:

Пример 1

Некоторая игра имеет следующий закон распределения выигрыша:

…наверное, вы давно мечтали о таких задачах:) Открою секрет – я тоже. В особенности после того, как завершил работу над теорией поля .

Решение : так как случайная величина может принять только одно из трёх значений, то соответствующие события образуют полную группу , а значит, сумма их вероятностей равна единице:

Разоблачаем «партизана»:

– таким образом, вероятность выигрыша условных единиц составляет 0,4.

Контроль: , в чём и требовалось убедиться.

Ответ :

Не редкость, когда закон распределения требуется составить самостоятельно. Для этого используют классическое определение вероятности , теоремы умножения / сложения вероятностей событий и другие фишки тервера :

Пример 2

В коробке находятся 50 лотерейных билетов, среди которых 12 выигрышных, причём 2 из них выигрывают по 1000 рублей, а остальные – по 100 рублей. Составить закон распределения случайной величины – размера выигрыша, если из коробки наугад извлекается один билет.

Решение : как вы заметили, значения случайной величины принято располагать в порядке их возрастания . Поэтому мы начинаем с самого маленького выигрыша, и именно рублей.

Всего таковых билетов 50 – 12 = 38, и по классическому определению :
– вероятность того, что наудачу извлечённый билет окажется безвыигрышным.

С остальными случаями всё просто. Вероятность выигрыша рублей составляет:

Проверка: – и это особенно приятный момент таких заданий!

Ответ : искомый закон распределения выигрыша:

Следующее задание для самостоятельного решения:

Пример 3

Вероятность того, что стрелок поразит мишень, равна . Составить закон распределения случайной величины – количества попаданий после 2 выстрелов.

…я знал, что вы по нему соскучились:) Вспоминаем теоремы умножения и сложения . Решение и ответ в конце урока.

Закон распределения полностью описывает случайную величину, однако на практике бывает полезно (а иногда и полезнее) знать лишь некоторые её числовые характеристики .

Математическое ожидание дискретной случайной величины

Говоря простым языком, это среднеожидаемое значение при многократном повторении испытаний. Пусть случайная величина принимает значения с вероятностями соответственно. Тогда математическое ожидание данной случайной величины равно сумме произведений всех её значений на соответствующие вероятности:

или в свёрнутом виде:

Вычислим, например, математическое ожидание случайной величины – количества выпавших на игральном кубике очков:

Теперь вспомним нашу гипотетическую игру:

Возникает вопрос: а выгодно ли вообще играть в эту игру? …у кого какие впечатления? Так ведь «навскидку» и не скажешь! Но на этот вопрос можно легко ответить, вычислив математическое ожидание, по сути – средневзвешенный по вероятностям выигрыш:

Таким образом, математическое ожидание данной игры проигрышно .

Не верь впечатлениям – верь цифрам!

Да, здесь можно выиграть 10 и даже 20-30 раз подряд, но на длинной дистанции нас ждёт неминуемое разорение. И я бы не советовал вам играть в такие игры:) Ну, может, только ради развлечения .

Из всего вышесказанного следует, что математическое ожидание – это уже НЕ СЛУЧАЙНАЯ величина.

Творческое задание для самостоятельного исследования:

Пример 4

Мистер Х играет в европейскую рулетку по следующей системе: постоянно ставит 100 рублей на «красное». Составить закон распределения случайной величины – его выигрыша. Вычислить математическое ожидание выигрыша и округлить его до копеек. Сколько в среднем проигрывает игрок с каждой поставленной сотни?

Справка : европейская рулетка содержит 18 красных, 18 чёрных и 1 зелёный сектор («зеро»). В случае выпадения «красного» игроку выплачивается удвоенная ставка, в противном случае она уходит в доход казино

Существует много других систем игры в рулетку, для которых можно составить свои таблицы вероятностей. Но это тот случай, когда нам не нужны никакие законы распределения и таблицы, ибо доподлинно установлено, что математическое ожидание игрока будет точно таким же. От системы к системе меняется лишь

Термины из математической статистики и теории вероятности широко используются при игре в букмекерский конторе.

Да и в целом математика - необходимая наука для расчетливого игрока .

На страницах нашего ресурса мы стараемся рассматривать продуманный подход, к рискованным вложениям денег. А значит действия игрока на ставках должны обуславливаться расчетами и тактикой .

Одним из ключевых понятие в теории игр является математическое ожидание . Оно помогает оценить успех сложений в долгосрочной перспективе. А именно таком ключе собираются зарабатывать, те кто считает ставки своим бизнесом.

Формула для определения мат ожидания при игре на букмекерской конторе

При игре на ставках термин математического ожидания можно сформулировать так:

Мат ожидание это разность произведений размера выигрыша на его вероятность и размера проигрыша на его вероятность.

Обозначим, привычные нам понятия символами:

• S – сумма ставки
• W – вероятность победы
• L– вероятность поражения
• S*k - S – размер выигрыша
• М - мат. Ожидание

Запишем формулу для расчета математического ожидания:

М=(S*k - S) *W – S*L

Математическое ожидание позволяет оценить выгоду в долгосрочной перспективе, то есть при достаточно большом числе событий.

Если мат. ожидание больше нуля , то игрок должен остаться в плюсе, если меньше нуля , то в убытке.

Это утверждение действительно для большого числа событий . То есть, положительное мат. ожидание не означает выигрыша на одной конкретной ставке. Оно означает положительный баланс при большем числе событий. То есть каждый раз делая ставки нужно ориентироваться на величину мат ожидания, она должна быть положительной.

Вероятность выигрыша и проигрыша

Эти два параметра, которые являются субъективными при игре на ставках.

Умение правильно определить вероятность успеха той или иной команды отличает хорошего игрока от плохого.

Пример расчета мат. ожидания на ставках

Рассмотрим пример хоккейный матч Сибирь - Динамо, ставка на исход матча. Сибирь, находится среди лидеров своего дивизиона, неплохо играет дома, Динамо на хорошем ходу, да и состав у них по именам сильнее, однако непонятная ситуация с тренером.

Вы оцениваете многие другие факторы и принимаете решение что, вероятность победы Сибири 60% (0,6) - Динамо - 40% (0,4).

Букмекеры дают коэффициенты на возможные исходы:

• 1,75 - победа Сибири
• 2,05 - победа Динамо

Предположим, что в данном случае вы решили ставить на Сибирь . Размер ставки 100 рублей. Вычислим мат. ожидание :

М=(100*1,75-100)*0,6- 100*0,4
М=45-40=5

Математическое ожидание положительное , значит в долгосрочной перспективе, можно заработать прибыль. Если удастся правильно оценивать вероятность исхода матчей.

Рассмотрим вариант ставки на Динамо . Размер ставки, вероятности, коэффициенты те же. Вычисли мат. Ожидание для данного случая:

М=(100*2,05-100)*0,4- 100*0,6
М=42-60=-8

Математическое ожидание отрицательное , значит при большом количестве событий, делая подобные ставки игрок останется в минусе.

Получатся, что хороший игрок должен учитывать несколько ключевых математических факторов:

• вероятность нужного исхода,
• коэффициент букмекерской конторы,
• размер ставки.

А задача игрока правильно спрогнозировать вероятности наступления того или иного события. Численные величины этих вероятностей, безусловно, субъективны, именно их определение является сложнейшим и важнейшим фактором успеха при игре на ставках.