(означает «соразмерность») — свойство геометрических объектов совмещаться с собой при определенных преобразованиях. Под «симметрией» понимают всякую правильность во внутреннем строении тела или фигуры.
Центральная симметрия — симметрия относительно точки.
относительно точки О, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре. Точка О называется центром симметрии фигуры.
В одномерном пространстве (на прямой) центральная симметрия является зеркальной симметрией.
На плоскости (в 2-мерном пространстве) симметрия с центром А представляет собой поворот на 180 градусов с центром А. Центральная симметрия на плоскости, как и поворот, сохраняет ориентацию.
Центральную симметрию в трёхмерном пространстве называют также сферической симметрией. Её можно представить как композицию отражения относительно плоскости, проходящей через центр симметрии, с поворотом на 180° относительно прямой, проходящей через центр симметрии и перпендикулярной вышеупомянутой плоскости отражения.
В 4-мерном пространстве центральную симметрию можно представить как композицию двух поворотов на 180° вокруг двух взаимно перпендикулярных плоскостей, проходящих через центр симметрии.
Осевая симметрия — симметрия относительно прямой.
Фигура называется симметричной относительно прямой а, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой а также принадлежит этой фигуре. Прямая а называется осью симметрии фигуры.
Осевая симметрия имеет два определения:
- Отражательная симметрия.
В математике осевая симметрия — вид движения (зеркального отражения), при котором множеством неподвижных точек является прямая, называемая осью симметрии. Например, плоская фигура прямоугольник в пространстве осимметрична и имеет 3 оси симметрии, если это не квадрат.
- Вращательная симметрия.
В естественных науках под осевой симметрией понимают вращательную симметриею, относительно поворотов вокруг прямой. При этом тела называют осесимметричными, если они переходят в себя при любом повороте вокруг этой прямой. В этом случае, прямоугольник не будет осесимметричным телом, но конус будет.
Изображения на плоскости многих предметов окружающего нас мира имеют ось симметрии или центр симметрии. Многие листья деревьев и лепестки цветов симметричны относительно среднего стебля.
С симметрией мы часто встречаемся в искусстве, архитектуре, технике, быту. Фасады многих зданий обладают осевой симметрией. В большинстве случаев симметричны относительно оси или центра узоры на коврах, тканях, комнатных обоях. Симметричны многие детали механизмов, например зубчатые колеса.
Назад
Вперёд
Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.
Цели урока:
Оборудование: интерактивная доска, презентация к уроку.
План урока.
- Организационный момент.
- Повторение действий с десятичными дробями.
- Изучение нового материала, первоначальное закрепление.
- Итог урока, домашнее задание.
Ход урока
1. Организационный момент.
Сообщение о требованиях к уроку, необходимых инструментах и пособиях.
Что изучает математика в 6 классе.
2. Повторение.
1) Вспомнить правила действий с десятичными дробями, привести примеры.
2) Устный счет (используется “Математический тренажер”, 6 класс, стр. 10 , задание на ИД).
3) Письменная работа № 14, 15 по первой строчке в каждом номере (у доски 1 ученик по желанию работает на оценку).
№14 а) 2, 31+ 15, 7= 18, 01
в) 4, 327 – 2, 05 = 2, 277
д) 15, 6 + 0, 671 = 16, 271
№15 а) 91, 05 · 3, 2 = 291, 36
в) 268, 8: 5,6 = 48
д) 7, 02 · 0, 0055 = 0, 03861
3. Изучение нового материала.
Тема нашего урока “Поворот и центральная симметрия” (Слайд 1)
В геометрии рассматриваются вопросы, связанные с движением фигур. Мы сегодня познакомимся с поворотом и центральной симметрией.
1) Возьмем на плоскости точки О и А. Повернем точку А вокруг точки О на некоторый угол. Точка А перейдет в точку А 1 . (Слайд 2). Сделаем такое же построение в тетради, заполним пропуски в тексте.
При этом точка О (неподвижная точка) будет являться центром поворота, точка А – подвижная точка, а угол поворота - это угол АОА 1 . Поворот может быть как по часовой, так и против часовой стрелки.
Таким образом мы можем дать определение поворота:
Опр. Поворо"т (враще"ние) - движение, при котором по крайней мере одна точка плоскости остаётся неподвижной (щелчок мышью).
2) Рассмотрите рисунок (щелчок мышью ). Здесь также показаны повороты точек. Опишите этот рисунок и определите, на какой угол поворачивается точка в каждом случае. Для какой точки угол поворота можно определить без транспортира? Охарактеризуйте расположение начальной и конечной точек относительно центра. (Устная работа по рисунку 2 из учебника)
3) Поворот - естественный процесс, происходящий в природе, окружающем нас мире.
Рассмотрите рисунки, дайте характеристику каждому повороту. (Слайд 3, 4)
4) Выполним письменно задание №1. (Слайд 5)
Постройте образ отрезка MN= 4 см при повороте на угол 90° вокруг точки О по часовой стрелке.
(Обсуждается алгоритм выполнения поворота и поэтапно вместе с анимацией выполняется построение в тетрадях. Учитель контролирует выполнение заданий и оказывает необходимую помощь).
Сравните отрезки MN и M 1 N 1 .
5) На следующем слайде вы видите различные орнаменты (Слайд 6). Все они состоят из одинаково повторяющихся элементов. Укажите эти элементы. Обратите внимание на фрагменты орнаментов б), г), е), ж). Что их объединяет? (Каждый из них можно получить из другой части поворотом на 180° относительно некоторой точки).
6) Рассмотрим следующий поворот. (Слайд 7)
Отметим на плоскости точки О и А, проведем прямую АО. На этой прямой отложим от точки О отрезок ОА 1 , равный отрезку АО, но по другую сторону от точки О. Получим развернутый угол АОА 1 . Это значит, что точку А 1 можно получить поворотом точки А на 180° вокруг точки О. Точки А и А 1 называют симметричными относительно точки О, а точку О называют центром симметрии.
Рассмотрим рисунок желтой и красной рыбы. Они симметричны относительно точки О.
Опр. Фигуры, симметричные относительно какой-либо точки называют центрально симметричными фигурами.
Как расположены центрально-симметричные точки, относительно центра симметрии?
(Лежат на одной прямой с центром симметрии)
7) Устно №1 стр.7 рис.7. (Слайд 8). Укажите центр симметрии и какие-нибудь пары центрально-симметричных точек.
(Слайд идет в обычном режиме или рисунок выносится на интерактивную доску, чтобы можно было выполнить необходимое построение).
8) Устно (Слайд 9 ). Укажите, какие фигуры на рисунках имеют центр симметрии.
4. Итог урока.
Ответьте на вопросы:
- Как вы поняли, что такое поворот?
- Как используя поворот, получить центрально-симметричные точки?
- Как построить центрально- симметричные точки?
локальная симметрия
Плавающая симметрия
Организация фасадов на основе "симметричного ядра"
Вам хорошо знакомо слово симметрия. Наверное, когда вы его произносите, то вспоминаете бабочку или клиновый лист, в которых мысленно можно провести прямую ось и части, которые будут расположены по разные стороны от этой прямой будут практически одинаковыми.
Это представление – правильное. Но это только один из видов симметрии, которую изучает математика, так называемая осевая симметрия. Кроме того, существует более общее понятие симметрии.
Общее понятие симметрии характеризует особую структуру организации любых систем, в которой сохраняются (остаются инвариантными) определенные признаки при выполнении определенных преобразований. Признаки, которые будут сохраняться, могут быть геометрическими, физическими, биологическими, химическими, информационными и т. д.
Рассматривая симметрию в архитектуре, нас будет интересовать геометрическая симметрия – симметрия формы как соразмерность частей целого. Замечено, что при выполнении определенных преобразований над геометрическими фигурами, их части, переместившись в новое положение, вновь будут образовывать первоначальную фигуру. Например, если провести прямую через высоту равнобедренного треугольника к основанию, и части треугольника, расположенные по разные стороны от этой прямой, поменять местами, то мы получим тот же (в смысле формы и размеров) равнобедренный треугольник; пятиконечная звезда при повороте на угол 72 градуса вокруг центральной точки (точки пересечения ее лучей) займет первоначальное положение. В приведенных примерах рассматриваются разные виды симметрии. В первом случае речь идет об осевой симметрии. Части, которые, если можно так сказать, взаимозаменяют друг друга, образованы некоторой прямой. Эту прямую принято называть осью симметрии. В пространстве аналогом оси симметрии является плоскость симметрии. Таким образом, в пространстве обычно рассматривается симметрия относительно плоскости симметрии. Например, куб симметричен относительно плоскости, проходящей через его диагональ. Имея ввиду оба случая (плоскости и пространства), этот вид симметрии иногда называют зеркальной. Название это оправдано тем, что обе части фигуры, находящиеся по разные стороны от оси симметрии или плоскости симметрии, похожи на некоторый объект и его отражение в зеркале. Заметим, что вы можете встретиться и с другим названием этого вида симметрии. Например, в биологии указанный вид симметрии называют билатеральным, а плоскость симметрии – билатеральной плоскостью.
Кроме зеркальной симметрии рассматривается центральная или поворотная симметрия. В этом случае переход частей в новое положение и образование исходной фигуры происходит при повороте этой фигуры на определенный угол вокруг точки, которая обычно называется центром поворота. Отсюда и приведенные выше названия указанного вида симметрии. Поворотная симметрия рассматривалась в примере с пятиконечной звездой. Поворотная симметрия может рассматриваться и в пространстве. Куб при повороте вокруг точки пересечения его диагоналей на угол 90° в плоскости, параллельной любой грани, перейдет в себя. Поэтому можно сказать, что куб является фигурой центрально симметричной или обладающей поворотной симметрией.
Еще одним видом симметрии, о которой мы пока не говорили, является переносная симметрия. Этот вид симметрии состоит в том, что части целой формы организованы таким образом, что каждая следующая повторяет предыдущую и отстоит от нее на определенный интервал в определенном направлении. Этот интервал называют шагом симметрии. Переносная симметрия обычно используется при построении бордюров. В произведениях архитектурного искусства ее можно увидеть в орнаментах или решетках, которые используются для их украшения. Переносная симметрия используется и в интерьерах зданий.
Архитектурные сооружения, созданные человеком, в большей своей части симметричны. Они приятны для глаза, их люди считают красивыми. С чем это связано? Здесь можно высказать только предположения.
Во-первых, все мы с вами живем в симметричном мире, который обусловлен условиями жизни на планете Земля, прежде всего существующей здесь гравитацией. И, скорее всего, подсознательно человек понимает, что симметрия это форма устойчивости, а значит существования на нашей планете. Поэтому в рукотворных вещах он интуитивно стремится к симметрии.
Во-вторых, окружающие человека люди, растения, животные и вещи симметричны. Однако при ближайшем рассмотрении оказывается, что природные объекты (в отличие от рукотворных) только почти симметричны. Но это не всегда воспринимает глаз человека. Глаз человека привыкает видеть симметричные объекты. Они воспринимаются как гармоничные и совершенные.
Симметрия воспринимается человеком как проявление закономерности, а значит внутреннего порядка. Внешне этот внутренний порядок воспринимается как красота.
Симметричные объекты обладают высокой степенью целесообразности – ведь симметричные предметы обладают большей устойчивостью и равной функциональностью в разных направлениях. Все это привело человека к мысли, что чтобы сооружение было красивым оно должно быть симметричным. Симметрия использовалась при сооружении культовых и бытовых сооружений в Древнем Египте. Украшения этих сооружений тоже представляют образцы использования симметрии. Но наиболее ярко симметрия проявляется в античных сооружениях Древней Греции, предметах роскоши и орнаментов, украшавших их. С тех пор и до наших дней симметрия в сознании человека стала объективным признаком красоты.
Соблюдение симметрии является первым правилом архитектора при проектировании любого сооружения. Стоит только посмотреть на великолепное произведение Казанский собор в Санкт-Петербурге, чтобы убедиться в этом.
Если мы мысленно проведем вертикальную линию через шпиль на куполе и вершину фронтона, то увидит, что с двух сторон от нее абсолютно одинаковые части сооружения (колоннады и здания собора). Но возможно, что вы не знаете, что в Казанском соборе есть еще одна, если можно так сказать «несостоявшаяся» симметрия.
Дело в том, что по канонам православной церкви вход в собор должен быть с востока, т. е. он должен быть с улицы, которая находится справа от собора и идет перпендикулярно Невскому проспекту. Но, с другой стороны Воронихин понимал, что собор должен быть обращен к главной магистрали города. И тогда он сделал вход в собор с востока, но задумал еще один вход, который украсил прекрасной колоннадой. Чтобы сделать здание совершенным, а значит симметричным, такая же колоннада должны была располагаться с другой стороны собора. Тогда, если бы мы посмотрели на собор сверху, то план его имел бы не одну, а две оси симметрии. Но замыслам архитектора было не суждено сбыться.
Казанский собор в Санкт-Петербурге
Кроме симметрии в архитектуре можно рассматривать антисимметрию и диссимметрию. Антисимметрия это противоположность симметрии, ее отсутствие. Примером антисимметрии в архитектуре является Собор Василия Блаженного в Москве, где симметрия отсутствует полностью в сооружении в целом. Однако, удивительно, что отдельные части этого собора симметричны и это создает его гармонию. Попробуйте привести еще примеры антисимметричных архитектурных сооружений. Диссимметрия – это частичное отсутствие симметрии, расстройство симметрии, выраженное в наличии одних симметричных свойств и отсутствии других. Примером диссимметрии в архитектурном сооружении может служить Екатерининский дворец в Царском селе под Санкт-Петербургом. Практически в нем полностью выдержаны все свойства симметрии за исключением одной детали. Наличие Дворцовой церкви расстраивает симметрию здания в целом. Если же не принимать во внимание эту церковь, то Дворец становится симметричным.
Екатерининский дворец в Царском селе
В современной архитектуре все чаще используются приемы как антисимметрии, так и диссимметрии. Эти поиски часто приводят к весьма интересным результатам. Появляется новая эстетика градостроительства. Завершая наш разговор, мы можем констатировать, что красота есть единство симметрии и диссимметрии.
Понятие симметрии
проходит через всю историю человечества. Оно встречается уже у истоков человеческого знания. Возникло оно в связи с изучением живого организма, а именно человека. И употреблялось скульпторами ещё в 5 веке до нашей эры. Слово “симметрия
” греческое, оно означает “соразмерность, пропорциональность, одинаковость в расположении частей
”.
Его широко используют все без исключения направления современной науки. Немецкий математик Герман Вейль сказал: “Симметрия является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство ”. Его деятельность приходится на первую половину ХХ века. Именно он сформулировал определение симметрии, установил по каким признакам усмотреть наличие или, наоборот, отсутствие симметрии в том или ином случае. Таким образом, математически строгое представление сформировалось сравнительно недавно – в начале ХХ века.
1.1. Осевая симметрия
Две точки А и А1 называются симметричными относительно прямой а, если эта прямая проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна к нему (Рисунок 2.1). Каждая точка прямой а считается симметричной самой себе.
Фигура называется симметричной относительно прямой а, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой a также принадлежит этой фигуре (Рисунок 2.2).
Прямая а называется осью симметрии фигуры.
Говорят также, что фигура обладает осевой симметрией.
Осевой симметрией обладают такие геометрические фигуры как угол, равнобедренный треугольник, прямоугольник, ромб (Рисунок 2.3).
Фигура может иметь не одну ось симметрии. У прямоугольника их две, у квадрата – четыре, у равностороннего треугольника – три, у круга – любая прямая, проходящая через его центр.
Если присмотреться к буквам алфавита (Рисунок 2.4)., то и среди них можно найти, имеющие горизонтальную или вертикальную, а иногда и обе оси симметрии. Объекты, имеющие оси симметрии достаточно часто встречаются в живой и неживой природе.
Имеются фигуры, у которых нет ни одной оси симметрии. К таким фигурам относятся параллелограмм, отличный от прямоугольника, разносторонний треугольник.
В своей деятельности человек создаёт много объектов (в том числе и орнаменты), имеющих несколько осей симметрии.
1.2 Центральная симметрия
Две точки А и А1 называются симметричными относительно точки О, если О - середина отрезка АА1. Точка О считается симметричной самой себе (Рисунок 2.5).
Фигура называется симметричной относительно точки О, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре .
Простейшими фигурами, обладающими центральной симметрией, является окружность и параллелограмм (Рисунок 2.6).
Точка О называется центром симметрии фигуры. В подобных случаях фигура обладает центральной симметрией. Центром симметрии окружности является центр окружности, а центром симметрии параллелограмма - точка пересечения его диагоналей.
Прямая также обладает центральной симметрией, однако в отличие от окружности и параллелограмма, которые имеют только один центр симметрии у прямой их бесконечно много - любая точка прямой является её центром симметрии. Примером фигуры, не имеющей центра симметрии, является треугольник.
1.3. Поворотная симметрия
Предположим, что объект совмещается сам с собой при повороте вокруг некоторой оси на угол, равный 360°/n (или кратный этой величине), где n = 2, 3, 4, … В этом случае о поворотной симметрии, а указанную ось называют поворотной осью n-го порядка.
Рассмотрим примеры со всеми известными буквами «И » и «Ф ». Что касается буквы «И », то у нее есть так называемая поворотная симметрия. Если повернуть букву «И » на 180° вокруг оси, перпендикулярной к плоскости буквы и проходящей через ее центр, то буква совместится сама с собой.
Иными словами, буква «И » симметрична относительно поворота на 180°. Заметим, что поворотной симметрией обладает также буква «Ф ».
На рисунке 2.7. даны примеры простых объектов с поворотными осями разного порядка – от 2-го до 5-го.